Karakterisatie van isometrieën

Orthogonale en symmetrische afbeeldingen: Isometrieën

Karakterisatie van isometrieën

We zagen eerder dat translaties isometrieën zijn die niet lineair zijn. De volgende stelling zegt dat iedere isometrie op een unieke manier te schrijven is als de samenstelling van een lineaire isometrie en een translatie. We brengen in herinnering dat een eigenschap van isometrieën is, dat ze injectief zijn.

Karakterisatie van isometrieënLaat $V$ en $W$ inproductruimten zijn.

Elke isometrie $V\to W$ die de nulvector vast houdt, is lineair.
Elke isometrie $H:V\to W$ kan op precies één manier geschreven worden als de samenstelling $H = T_{\vec{a}}\, L$ van een translatie $T_{\vec{a}}$ over een vector $\vec{a}$ van $V$ en een lineaire isometrie $L:V\to W$ , waarbij $\vec{a}= H(\vec{0})$ .

We zeggen dat een afbeelding $V\to W$ de nulvector vast houdt als ze $\vec{0}_V$ overvoert in $\vec{0}_W$ .

1. Laat $H$ een isometrie zijn die de nulvector vast laat, dus zodat $H(\vec{0}_V) =\vec{0}_W$ . Dan behoudt $H$ de norm, want de norm van elke vector $\vec{x}$ is de afstand van die vector tot $\vec{0}_V$ , en dus gelijk aan de afstand van $H(\vec{x})$ tot $H(\vec{0}_V)= \vec{0}_W$ .

Omdat $H$ de norm behoudt, laat $H$ ook het inproduct invariant. De polarisatieformule laat immers zien dat

$\begin{array}{rcl} \dotprod{H(\vec{x})}{H(\vec{y})} &=&\displaystyle -\frac12\left({\parallel H(\vec{x})-H(\vec{y})\parallel} + {\parallel H(\vec{x})\parallel}+{\parallel H(\vec{y})\parallel}\right)\\ &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{polarisatieformule toegepast op }H(\vec{x})\text{ en }-H(\vec{y})}\\& =&\displaystyle-\frac12\left({\parallel \vec{x}-\vec{y}\parallel} + {\parallel \vec{x}\parallel}+{\parallel \vec{y}\parallel} \right)\\&&\phantom{xxx}\color{blue}{H \text{ behoudt afstand en norm}}\\&=& \dotprod{\vec{x}}{\vec{y}}\\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{polarisatieformule toegepast op }\vec{x}\text{ en }-\vec{y}}\end{array}$

Eerst gebruiken we het feit dat $H$ het inproduct behoudt om de somregel te bewijzen (met andere woorden: het feit dat $H$ de optelling respecteert). Laat $\vec{x}$ , $\vec{y}$ vectoren van $V$ zijn. We laten zien dat $H(\vec{x}+\vec{y}) = H(\vec{x})+H(\vec{y})$ geldt door af te leiden dat het inproduct van het verschil $\vec{v}=H(\vec{x}+\vec{y}) - \left(H(\vec{x})+H(\vec{y})\right)$ van linker en rechter lid met zichzelf gelijk is aan $0$ :

$\begin{array}{rcl}\dotprod{\vec{v}}{\vec{v}}&=&\dotprod{\left(H(\vec{x}+\vec{y}) -( H(\vec{x})+H(\vec{y}))\right)}{\left(H(\vec{x}+\vec{y}) -( H(\vec{x})+H(\vec{y}))\right)} \\ &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{definitie van }\vec{v}}\\ &=&\dotprod{H(\vec{x}+\vec{y})}{H(\vec{x}+\vec{y})} + \dotprod{H(\vec{x})}{H(\vec{x})}+ \dotprod{H(\vec{y})}{H(\vec{y})}\\ &&+2 \dotprod{H(\vec{x})}{H(\vec{y})}-2 \dotprod{H(\vec{x}+\vec{y})}{H(\vec{x})}-2\dotprod{H(\vec{x}+\vec{y}) }{H(\vec{y})}\\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{haakjes weggewerkt met gebruik van lineariteit van het inproduct}}\\&=&\dotprod{(\vec{x}+\vec{y})}{(\vec{x}+\vec{y})} + \dotprod{\vec{x}}{\vec{x}}+ \dotprod{\vec{y}}{\vec{y}}\\ &&+2 \dotprod{\vec{x}}{\vec{y}}-2 \dotprod{(\vec{x}+\vec{y})}{\vec{x}} -2\dotprod{(\vec{x}+\vec{y}) }{\vec{y}}\\&&\phantom{xxx}\color{blue}{H\text{ behoudt het inproduct}}\\&=&\dotprod{\vec{x}}{\vec{x}}+\dotprod{\vec{y}}{\vec{y}} +2\dotprod{\vec{x}}{\vec{y}} + \dotprod{\vec{x}}{\vec{x}}+ \dotprod{\vec{y}}{\vec{y}}\\ &&+2 \dotprod{\vec{x}}{\vec{y}}-2 \dotprod{\vec{x}}{\vec{x}}-2\dotprod{\vec{y}}{\vec{x}} -2\dotprod{\vec{x} }{\vec{y}}-2\dotprod{\vec{y} }{\vec{y}}\\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{haakjes weggewerkt met gebruik van lineariteit van het inproduct}}\\&=& 0 \\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{vereenvoudigd}}\end{array}$ Vanwege de positief-definietheid van het inproduct volgt hieruit $\vec{v} = \vec{0}$ , zodat $H(\vec{x}+\vec{y}) = H(\vec{x})+H(\vec{y})$ .

Nu bewijzen we de scalaire regel, het feit dat $H$ de scalarvermenigvuldiging respecteert. Laat $\vec{x}$ een vector van $V$ zijn en laat $\lambda$ een scalar zijn. We laten zien dat $H(\lambda \cdot \vec{x}) = \lambda \cdot H(\vec{x})$ geldt door af te leiden dat het inproduct van het verschil $\vec{w}=H(\lambda \cdot \vec{x}) - \left(\lambda \cdot H(\vec{x})\right)$ van linker en rechter lid met zichzelf gelijk is aan $0$ :

$\begin{array}{rcl}\dotprod{\vec{w}}{\vec{w}}&=&\dotprod{\left(H(\lambda \cdot \vec{x}) -\lambda \cdot H( \vec{x})\right)}{\left(H(\lambda \cdot \vec{x}) -\lambda \cdot H( \vec{x})\right)} \\ &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{definitie van }\vec{w}}\\ &=&\dotprod{H(\lambda \cdot \vec{x})}{H(\lambda \cdot \vec{x})} + \dotprod{\lambda \cdot H(\vec{x})}{\left(\lambda \cdot H(\vec{x})\right)}-2 \dotprod{H(\lambda\cdot\vec{x})}{\left(\lambda\cdot H(\vec{x})\right)}\\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{haakjes weggewerkt met gebruik van lineariteit van het inproduct}}\\&=&\dotprod{(\lambda \cdot \vec{x})}{(\lambda \cdot \vec{x})} + \dotprod{(\lambda \cdot \vec{x})}{\left(\lambda \cdot \vec{x}\right)}-2 \dotprod{(\lambda\cdot\vec{x})}{\left(\lambda\cdot \vec{x}\right)}\\&&\phantom{xxx}\color{blue}{H\text{ behoudt het inproduct}}\\&=&\lambda^2\cdot \dotprod{\vec{x}}{\vec{x}}+\lambda^2\cdot \dotprod{\vec{x}}{\vec{x}} -2\lambda^2\cdot \dotprod{\vec{x}}{\vec{x}} \\ &&\phantom{xxx}\color{blue}{\lambda \text{ buiten haakjes gewerkt met gebruik van lineariteit van het inproduct}}\\&=& 0 \\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{vereenvoudigd}}\end{array}$ Vanwege de positief-definietheid van het inproduct volgt hieruit $\vec{w} = \vec{0}$ , zodat $H(\lambda\cdot \vec{x}) = \lambda\cdot H(\vec{x})$ .

Hiermee is volgens de definitie van lineaire afbeelding aangetoond dat $H$ lineair is.

2. Schrijf $\vec{a}= H(\vec{0})$ en $L =T_{-\vec{a}}\, H$ . Omdat $L$ de samenstelling is van twee isometrieën (namelijk $H$ gevolgd door een translatie in $W$ ), is $L$ een isometrie (Zie eigenschappen van isometrieën). Bovendien geldt $L(\vec{0}) = T_{-\vec{a}}\, H(\vec{0}) =T_{-\vec{a}} (\vec{a}) = \vec{a}-\vec{a} = \vec{0}$ zodat $L$ de nulvector vast houdt. Met gebruik van uitspraak 1 concluderen we dat $L$ lineair is. Door op beide zijden van de definitie van $L$ de translatie $T_{\vec{a}}$ los te laten, krijgen we $T_{\vec{a}}\,L =T_{\vec{a}}\,T_{-\vec{a}}\, H = H$ .

De schrijfwijze is uniek: stel dat $H =T_{\vec{b}}M$ voor een vector $\vec{b}$ van $W$ en een lineaire isometrie $M: V\to W$ . Dan geldt $\vec{b} =T_{\vec{b}}M(\vec{0}) = H(\vec{0}) = \vec{a}$ , zodat $\vec{b}=\vec{a}$ . Bijgevolg geldt $T_{\vec{a}}\,M =T_{\vec{b}}\,M = H =T_{\vec{a}}\,L$ . Omdat translaties bijectief zijn, vinden we $M = L$ .

Elke lineaire afbeelding $L:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ is de vermenigvuldiging met een getal $\lambda$ . Als $L$ orthogonaal is, dan is $|\lambda| = 1$ . Volgens de stelling heeft elke isometrie $H : \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ de vorm $L\,T_{a}$ voor een reëel getal $a$ , zodat $H(x) = \pm(x+a)\phantom{xxx}\text{ voor }\phantom{xxx}x\in \mathbb{R}$

De isometrie $L:V\to V$ van een inproductruimte $V$ naar zichzelf is volgens de eerste uitspraak dan en slechts dan orthogonaal als $L$ de oorsprong $\vec{0}$ vast houdt.

Voor elke vector $\vec{w} \in W$ en elke lineaire isometrie $L:V\to W$ is de samenstelling $T_{\vec{w}}\, L$ ook een isometrie. Volgens bovenstaande stelling heeft deze isometrie de vorm $M\, T_{\vec{a}}$ . De eerste van onderstaande regels geeft aan wat $M$ en $\vec{a}$ zijn.

Rekenregels voor translaties

Laat $V$ en $W$ inproductruimten zijn.

1. Als $L: V\to W$ een lineaire afbeelding is en $\vec{c}$ een vector in $V$ , dan geldt de volgende commutatiewet voor een translatie: $L\,T_{\vec{c}} = T_{L(\vec{c})}\, L$

2. Als $L$ en $N$ lineaire afbeeldingen $V\to V$ zijn, en $\vec{a}$ , $\vec{c}$ vectoren van $V$ , dan wordt de samenstelling van $T_{\vec{a}}\, L$ en $T_{\vec{c}}\,N$ gegeven door

$\left(T_{\vec{a}}\, L\right)\,\left(T_{\vec{c}}\,N \right)= T_{\vec{a}+L(\vec{c})}\,\left(L\,N\right)$

Als $L$ en $N$ bovendien orthogonale afbeeldingen $V\to V$ zijn, dan is de samenstelling van de twee isometrieën $T_{\vec{a}}\, L$ en $T_{\vec{c}}\,N$ weer een isometrie.

1. Voor elke $\vec{x}$ in $V$ geldt $\begin{array}{rcl}L \, T_{\vec{c}} (\vec{x}) &=& L(\vec{x}+\vec{c})\\ &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{afbeeldingsvoorschrift van }T_{\vec{c}}}\\ &=& L(\vec{x})+L(\vec{c})\\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{lineariteit van }L} \\&=& T_{L(\vec{c})}\, L(\vec{x})\\ &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{afbeeldingsvoorschrift van }T_{L(\vec{c})}}\end{array}$

2. Volgens de stelling kan de afbeelding $K= (T_{\vec{a}}\, L)\,(T_{\vec{c}}\,N)$ geschreven worden als $T_{\vec{d}}\,P$ , waarbij $\vec{d}$ een vector is en $P:V\to W$ een lineaire isometrie. De uniciteit vertelt ons hoe $\vec{d}$ en $P$ in $\vec{a}, L, \vec{c},N$ uitgedrukt kunnen worden:

$\begin{array}{rcl}\vec{d} &=& K(\vec{0}) = T_{\vec{a}}\, L\,T_{\vec{c}}\,N(\vec{0}) = T_{\vec{a}}\, L\,T_{\vec{c}}(\vec{0}) = T_{\vec{a}}\, L\,(\vec{c}) = \vec{a}+ L\,(\vec{c}) \\ P &=& L\, N\phantom{xx}\color{blue}{\text{(het product van de lineaire isometrieën)}} \end{array}$

Ook een directe berekening die uitspraak 1 gebruikt, levert het hele resultaat:

$\left(T_{\vec{a}}\, L\right)\,\left(T_{\vec{c}}\,N \right)=T_{\vec{a}}\,\left( L\,T_{\vec{c}}\right)\,N =T_{\vec{a}}\,T_{L(\vec{c})}\,L\,N =T_{\vec{a}+L(\vec{c})}\,L\,N$

Als $L:V\to V$ inverteerbaar is, dan kan de commutatiewet voor $\vec{a}$ in $V$ ook geschreven worden als $L \, T_{\vec{a}}\,L^{-1} = T_{L(\vec{a})}$ Het linker lid heet wel de met $L$ geconjugeerde van $T_{\vec{a}}$ . Conjugatie met $L$ voert dus translaties over in translaties.

Hierboven zagen we dat elke isometrie $H : \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ de vorm $L\,T_{a}$ heeft voor een reëel getal $a$ , zodat $H(x) = \pm(x+a)\phantom{xxx}\text{ voor }\phantom{xxx}x\in \mathbb{R}$

In overeenstemming met de eerste rekenregel voor translaties geldt, met $\delta = \pm 1$ en $L_\delta$ de scalaire vermenigvuldiging met $\delta$ op $\mathbb{R}$ ,

$H = L_\delta \, T_a = T_{\delta\cdot a} L_\delta$

Bekijk de isometrie $H:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ die aan elke vector $\vec{x}=\rv{x_1,x_2}$ volgende de vector toevoegt: $H(\vec{x}) = \rv{-{{130}\over{37}}+\frac{12}{37} x_1 -\,\frac{35}{37} x_2, -{{151}\over{37}}+\frac{35}{37} x_1 +\frac{12}{37} x_2}$ Bepaal de vector $\vec{v}$ waarvoor $H$ geschreven worden in de vorm $A\, T_{\vec{v}}$ , waarbij $A$ een orthogonale $(2\times2)$ -matrix is.

$\vec{v} =$ $\rv{-5,2}$

Uitwerking van het beeld van $\vec{x} = \rv{x_1,x_2}$ onder $H$ leert ons dat
$\begin{array}{rcl}H\left(\vec{x}\right)&=&\displaystyle \rv{-{{130}\over{37}} +\frac{12}{37} x_1-\,\frac{35}{37} x_2, -{{151}\over{37}}+\frac{35}{37} x_1 + \frac{12}{37} x_2}\\ &=&\displaystyle T_{\rv{-{{130}\over{37}},-{{151}\over{37}}}}\,\left(\rv{\frac{12}{37} x_1-\,\frac{35}{37} x_2, \frac{35}{37} x_1 + \frac{12}{37} x_2}\right)\\ \\ &=& T_{\rv{-{{130}\over{37}},-{{151}\over{37}}}}\,\matrix{\frac{12}{37} & -\,\frac{35}{37}\\ \frac{35}{37} & \frac{12}{37}}\, \vec{x} \end{array}$ zodat $H = T_{\rv{-{{130}\over{37}},-{{151}\over{37}}}}\, A$ , waarbij $A = \matrix{\frac{12}{37} & -\,\frac{35}{37}\\ \frac{35}{37} & \frac{12}{37}}$ .

Om $\vec{v}$ te vinden passen we de commutatiewet voor een translatie toe:
$\begin{array}{rcl}T_{\rv{-{{130}\over{37}},-{{151}\over{37}}}}\, A &=& A\, A^{\top}\, T_{\rv{-{{130}\over{37}},-{{151}\over{37}}}}\, A\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{A\text{ is orthogonaal}}\\ &=&A\, T_{A^{\top}\,\rv{-{{130}\over{37}},-{{151}\over{37}}}} \, A^{\top} A\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{ commutatieregel}}\\ &=& A\, T_{A^{\top}\,\rv{-{{130}\over{37}},-{{151}\over{37}}}} \\&&\phantom{xx}\color{blue}{A\text{ is orthogonaal}} \end{array}$ We concluderen dat $\vec{v} =A^{\top}\,\rv{-{{130}\over{37}},-{{151}\over{37}}} = \matrix{\frac{12}{37} & \frac{35}{37}\\ -\,\frac{35}{37} & \frac{12}{37}}\,\rv{-{{130}\over{37}},-{{151}\over{37}}}=\rv{-5,2}$

Nieuw voorbeeld