Enkele eigenschappen van orthogonale afbeeldingen

Orthogonale en symmetrische afbeeldingen: Orthogonale afbeeldingen

Enkele eigenschappen van orthogonale afbeeldingen

Hier zijn enkele algemene eigenschappen van orthogonale afbeeldingen.

Laat $V$ een reële inproductruimte zijn en $L:V\to V$ een orthogonale afbeelding.

Als $M :V\rightarrow V$ ook een orthogonale afbeelding is, dan is de samenstelling $L\,M$ ook orthogonaal.
De afbeelding $L$ is injectief.
Als $V$ eindigdimensionaal is, dan is $L$ inverteerbaar en is ook $L^{-1}$ orthogonaal.
Elke reële eigenwaarde van $L$ is gelijk aan $1$ of $-1$ .
Als $W$ een eindigdimensionale lineaire deelruimte van $V$ is die invariant is onder $L$ , dan is ook het orthogonale complement $W^\perp$ invariant onder $L$ .
Als $L$ het orthogonale complement van een vector $\vec{v}$ ongelijk $\vec{0}$ van $V$ vast houdt, dan is $L$ hetzij de identiteit hetzij de orthogonale spiegeling $S_{\vec{v}}$ .

1. Omdat $L$ en $M$ orthogonaal zijn, geldt voor alle $\vec{x},\vec{y}\in V$ $\norm{L\,M(\vec{x})-L\,M(\vec{y} )}=\norm{M(\vec{x}) -M(\vec{x})}=\norm{\vec{x}- \vec{y}}$ Dit laat zien dat $L\,M$ orthogonaal is.

2. Stel $L(\vec{x})= L(\vec{y})$ . Dan geldt $L(\vec{x})-L(\vec{y})=\vec{0}$ , en dus $\norm{L(\vec{x}) - L(\vec{y})}=0$ . Omdat $L$ orthogonaal is, volgt $\norm{\vec{x}-\vec{y}}=0$ , en, vanwege de positief-definietheid van de norm $\vec{x} -\vec{y}=\vec{0}$ , zodat $\vec{x}=\vec{y}$ . Dit bewijst dat $L$ injectief is.

3. Eerst tonen we aan dat $L$ inverteerbaar is. De afbeelding $L$ is eindigdimensionaal en lineair, en volgens uitspraak 2 ook injectief. Uit Inverteerbaarheidscriteria voor een lineaire afbeelding volgt nu dat $L$ inverteerbaar is. Alle $\vec{x}\in V$ voldoen aan $\vec{x}=L\, L^{-1}(\vec{x})$ . Omdat $L$ orthogonaal is, volgt hieruit dat $\norm{\vec{x}}=\norm{L\,L^{-1}(\vec{x})}=\norm{L^{-1}(\vec{x})}$ zodat $L^{-1}$ orthogonaal is.

4. Stel dat $\lambda$ een reële eigenwaarde is van een orthogonale afbeelding $L:V\rightarrow V$ , en laat $\vec{v}$ een eigenvector van $L$ bij $\lambda$ zijn. Dan geldt $\abs{\lambda}\cdot\norm{\vec{v}}= \norm{ \lambda\vec{v}}=\norm{L(\vec{v})}=\norm{\vec{v}}$ Omdat $\vec{v}\ne\vec{0}$ , geeft positiviteit van de norm dat $\norm{\vec{v}}\gt0$ , zodat $\abs{\lambda}=1$ . Hieruit volgt $\lambda =1$ of $\lambda=-1$ .

5. Stel dat $W$ een eindigdimensionale $L$ -invariante lineaire deelruimte van $V$ is. Dan is de beperking van $L$ tot $W$ een inverteerbare afbeelding $W\to W$ vanwege uitspraak 3. Laat $\vec{x}$ een vector van $W^\perp$ zijn. Dan geldt voor elke vector $\vec{w}$ van $W$ :

$\begin{array}{rcl}\dotprod{\vec{w}}{L(\vec{x})} &=& \dotprod{(L\,L^{-1}(\vec{w}))}{L(\vec{x})}\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\left.L\right|_W\text{ is inverteerbaar}}\\ &=& \dotprod{(L^{-1}(\vec{w}))}{\vec{x}}\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{L\text{ is orthogonaal}}\\ &=& 0\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{L^{-1}(\vec{w})\text{ behoort tot }W\text{ en }\vec{x}\text{ tot }W^\perp}\end{array}$ Hiermee is aangetoond dat $L(\vec{x})$ loodrecht staat op elke vector $\vec{w}$ van $W$ , dat wil zeggen: $L(\vec{x})$ behoort tot $W^\perp$ .

6. Als $L$ aan de voorwaarden voldoet, dan is $\vec{v}$ een eigenvector van $L$ . Vanwege 4 is de bijbehorende eigenwaarde gelijk aan $1$ or $-1$ . In het eerste geval is $L$ de identiteit. In het tweede geval is $L$ de unieke lineaire afbeelding die $\vec{v}$ stuurt naar $-\vec{v}$ en elke vector in het orthogonale complement $\{\vec{v}\}^{\perp}$ vast houdt. Dat betekent dat $L = S_{\vec{v}}$ .

In oneindigdimensionale inproductruimten bestaan er orthogonale afbeeldingen die geen inverse hebben. Hier is een voorbeeld. Laat $P$ de vectorruimte van alle veeltermen in $x$ zijn. Dit is een inproductruimte met betrekking tot het inproduct waarbij $\basis{1,x,x^2,\ldots}$ orthonormaal is. Laat $L:P\to P$ de afbeelding zijn die bestaat uit vermenigvuldiging met $x$ . Dan is $L$ orthogonaal en injectief, maar niet bijectief.

Zoals we later zullen zien, hebben alle complexe eigenwaarden van een orthogonale afbeelding absolute waarde $1$ .

Omdat de determinant het product is van alle eigenwaarden (met de juiste multipliciteiten) en omdat niet-reële eigenwaarden voorkomen in paren van aan elkaar complex geconjugeerde eigenwaarden met absolute waarde $1$ , volgt uit uitspraak 4 van de stelling dat de determinant van een orthogonale afbeelding op een eindigdimensionale inproductruimte gelijk is aan $1$ of $-1$ . We zullen hier later op terugkomen.

We laten aan de hand van een tegenvoorbeeld zien dat de eis in uitspraak 5 dat de deelruimte $W$ eindigdimensionaal is, noodzakelijk is. Laat $P$ de inproductruimte zijn van alle veeltermen in $x$ met $\basis{1,x,x^2,\ldots}$ als orthogonale basis. De afbeelding $L_x:P\to P$ die bestaat uit vermenigvuldiging met $x$ is duidelijk orthogonaal. De lineaire deelruimte $W$ bestaande uit alle veeltermen zonder constante term is duidelijk een oneindigdimensionale $L_x$ -invariante deelruimte van $P$ met orthogonaal complement $W^\perp = \linspan{1}$ . Maar $L_x(1) = x$ ligt niet in $W^\perp$ , dus $W^\perp$ is niet $L_x$ -invariant.

Stel dat $L: \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$ een orthogonale afbeelding is met

$L(\rv{-2,1,2}) = \rv{-2,1,2}$
$\rv{2,0,2}$ is een eigenvector bij eigenwaarde $-1$
De dimensie van de eigenruimte van $L$ bij eigenwaarde $1$ is gelijk aan $1$ .

Bepaal de matrix $A$ van $L$ .

$A =$ $\matrix{-{{1}\over{9}} & -{{4}\over{9}} & -{{8}\over{9}} \\ -{{4}\over{9}} & -{{7}\over{9}} & {{4}\over{9}} \\ -{{8}\over{9}} & {{4}\over{9}} & -{{1}\over{9}} \\ }$

De vector $\rv{-2,1,2}$ wordt vastgehouden door $L$ en ligt dus in de eigenruimte bij eigenwaarde $1$ . Omdat $L$ orthogonaal is, zijn de enige reële eigenwaarden $1$ en $-1$ . De eigenruimte bij eigenwaarde $-1$ is dus $1$ -dimensionaal of $2$ -dimensionaal. In het eerste geval zou er een niet-reële eigenwaarde moeten zijn, maar dan zou de complex geconjugeerde ook een eigenwaarde moeten zijn, wat onmogelijk is omdat de dimensie van de inproducruimte gelijk is aan $3$ . De eigenruimte van $L$ bij eigenwaarde $-1$ heeft dus dimensie $2$ .

We zoeken een vector die loodrecht staat op zowel $\rv{-2,1,2}$ als $\rv{2,0,2}$ . Deze is te vinden door het oplossen van een stel lineaire vergelijkingen. Een snellere methode gebruikt het uitproduct:
$\rv{-2,1,2}\times \rv{2,0,2} = \rv{2,8,-2 }$ Dit moet een eigenvector zijn van $L$ bij eigenwaarde $-1$ . Zo vinden we dat de matrix $L_\beta$ van $L$ ten opzichte van de basis
$\beta = \basis{\rv{-2,1,2},\rv{2,0,-2},\rv{2,8,-2 }}$ de diagonaalmatrix is met op de diagonaal $1$ , $-1$ , $-1$ . We concluderen dat de matrix van $L$ (ten opzichte van de standaardbasis $\varepsilon$ ) gelijk is aan
$\begin{array}{rcl} L_{\varepsilon} &=& {}_\varepsilon I_\beta \,L_\beta \, {}_\beta I_\varepsilon\\ &=&\matrix{-2 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 8 \\ 2 & 2 & -2 \\ }\,\matrix{1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ } \,\matrix{-2 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 8 \\ 2 & 2 & -2 \\ }^{-1} \\ &=&\matrix{-2 & -2 & -2 \\ 1 & 0 & -8 \\ 2 & -2 & 2 \\ }\, \matrix{-{{2}\over{9}} & {{1}\over{9}} & {{2}\over{9}} \\ {{1}\over{4}} & 0 & {{1}\over{4}} \\ {{1}\over{36}} & {{1}\over{9}} & -{{1}\over{36}} \\ } \\ &=& \matrix{-{{1}\over{9}} & -{{4}\over{9}} & -{{8}\over{9}} \\ -{{4}\over{9}} & -{{7}\over{9}} & {{4}\over{9}} \\ -{{8}\over{9}} & {{4}\over{9}} & -{{1}\over{9}} \\ } \end{array}$

Nieuw voorbeeld