Bewerkingen met complexe getallen: Rekenen met complexe getallen
Imaginaire getallen
Bij het bestuderen van kwadratische vergelijkingen ontdekten we dat niet alle vergelijkingen een oplossing hebben. Dit geldt als we ons beperken tot reële getallen, maar niet wanneer we imaginaire getallen introduceren en we zogenaamde complexe oplossingen toestaan, die later worden gedefinieerd.
Neem een vergelijking van het type \[x^2+\green{c}^2=0\] waarbij #\green{c}# een reëel getal is. Deze vergelijking heeft geen reële oplossing, tenzij #\green{c}=0#. Omdat
\[\begin{array}{rcl} x^2&=&\displaystyle -\green{c}^2\\&&\quad\blue{c^2\text{ van beide zijden afgetrokken}}\\
x&=& \pm\sqrt{\displaystyle -\green{c}^{2}}\\
&&\quad\blue{\text{de wortel genomen aan beide zijden}}
\end{array}\]
wat niet mogelijk is voor reële getallen #\green{c}\neq 0#. Dit komt omdat #\green{c}^2>0#, oftewel #-\green{c}^2<0#, en er dus geen reële wortels van negatieve getallen zijn.
Zoals we echter in dit hoofdstuk zullen zien, heeft de vergelijking #x^2+\green{c}^2=0# oplossingen als we toestaan dat #x# een imaginair deel heeft.
Imaginaire getallen zijn getallen waarvan het kwadraat negatief is. Net zoals reële getallen een eenheid hebben in het getal #1#, hebben imaginaire getallen hun eenheid in #\blue{\complexi}#, een getal dat gedefinieerd is als #\blue{\complexi}^2=-1#.
De imaginaire eenheid wordt geschreven als #\blue{\complexi}# en het is een getal waarvan het kwadraat gelijk is aan #-1#, \[\blue{\complexi}^2=-1\]
Dit betekent dat \[ \blue{\ii} = \sqrt{-1} \]
Door #\blue{\complexi}# te vermenigvuldigen met reële getallen, krijgen we imaginaire getallen.
Een imaginair getal #\purple{y}# heeft de algemene vorm \[\purple{y}=\green{b}\cdot \blue{\complexi}\] waarbij #\green{b}# een reëel getal is dat niet nul is.
De volgende getallen zijn imaginaire getallen: \[\begin{array}{rc}
&\purple{y}=\green{2}\cdot\blue{\complexi}\qquad\qquad
\purple{y}=\green{\sqrt{3}}\cdot\blue{\ii}\\
&\purple{y}=\green{-\cfrac{10}{3}}\cdot\blue{\complexi}
\qquad\qquad\purple{y}=\green{-\cfrac{\pi}{6}}\cdot\blue{\complexi}\end{array}\]
Een van de interessantste eigenschappen van #\blue{\complexi}# komt naar voren wanneer we opeenvolgende machten van de imaginaire eenheid nemen. Met behulp van die #\blue{\complexi}^2=-1# kunnen we hiervoor regels afleiden.
De resultaten van het nemen van opeenvolgende machten van #\blue{\complexi}# in een cyclus tussen #1#, #\complexi#, #-1# en #-\complexi#.
Algemeen geval
\[\begin{array}{rcl}
\displaystyle\blue{\complexi}^{\orange{4n}}&=&1 \\
\displaystyle\blue{\complexi}^{\orange{4n+1}} &=& \blue{\complexi} \\
\displaystyle\blue{\complexi}^{\orange{4n+2}} &=& -1 \\
\displaystyle\blue{\complexi}^{\orange{4n+3}} &=& -\blue{\complexi}
\end{array}\]
waarbij #\orange{n}# een geheel getal is.
Voorbeelden
\[\begin{array} {rclcrcl}
\blue{\ii}^{\orange{0}} &=& 1 &\text{ }& \blue{\complexi}^{\orange{4}} &=& 1 \\
\blue{\complexi}^{\orange{1}} &=&\blue{\complexi} &\text{ }& \blue{\complexi}^{\orange{5}} &=&\blue{\complexi}\\
\blue{\complexi}^{\orange{2}} &=&-1&\text{ }& \blue{\complexi}^{\orange{6}} &=&-1\\
\blue{\complexi}^{\orange{3}} &=&-\blue{\complexi} &\text{ }& \blue{\complexi}^{\orange{7}} &=&-\blue{\complexi} \\
\end{array} \]
De gebruikelijke regels voor machtsverheffing zijn ook van toepassing op #\blue{\complexi}#, bijvoorbeeld #\blue{\complexi}^{\orange{0}}=1# en #\blue{\complexi}^{-\orange{n}}=\frac{1}{\blue{\complexi}^{\orange{n}}}#.
Niet-gehele machten van #\blue{\complexi}# worden later besproken in de bredere context van complexe exponentiatie .
Zoals we zagen in het voorbeeld van de kwadratische functie, kunnen sommige reële kwadratische vergelijkingen niet worden opgelost omdat er geen reële wortels van negatieve reële getallen zijn. We kunnen echter wel imaginaire wortels van negatieve reële getallen construeren.
Laat #\green{a}# een positief reëel getal zijn. De wortel van #-\green{a}# kan dan worden uitgedrukt in termen van #\blue{\complexi}# als
\[\begin{array}{rcl}
\displaystyle\sqrt{-\green{a}}&=&\displaystyle\sqrt{\green{a}}\cdot\blue{\complexi}
\end{array}\]
Voorbeelden
\[\begin{array}{rcl}
\sqrt{\displaystyle-\green{7}}&=&\displaystyle\sqrt{\green{7}}\cdot\blue{\complexi}\\
\sqrt{\displaystyle-\green{4}}&=& \displaystyle\green{2}\cdot\blue{\complexi} \\
\sqrt{\displaystyle-\green{36}}&=&\displaystyle\green{6}\cdot\blue{\complexi}
\end{array}\]
Bedenk dat #\,\complexi^4=1# en #\,\complexi^3=-\complexi#. Met deze informatie en de regels voor machtsverheffen, krijgen we
\[\begin{array}{rcl}
\complexi^{7} &=& \complexi^{4+3} \\
&&\quad\blue{7 \text{ als }4+3\text{ geschreven}} \\
&=& \complexi^4 \cdot \complexi^3 \\
&&\quad\blue{\text{de regel voor machtsverheffen }\,a^{b+c}=a^b\cdot a^c\text{ gebruikt}}\\
&=& 1 \cdot (-\complexi) \\
&&\quad \blue{ \,\complexi^4=1\text{ en }\,\complexi^3=-\complexi\text{ gesubstitueerd}} \\
&=& -\complexi \\&&\quad \blue{\text{vereenvoudigd}}
\end{array}\]
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
