Docentenhandleiding voor complexe getallen

Bewerkingen met complexe getallen: Inleiding tot complexe getallen

Docentenhandleiding voor complexe getallen

Inleiding

Welkom bij de module Complexe getallen. Deze module biedt een zelfstandige introductie tot complexe getallen die ook kan worden opgenomen in een cursus lineaire algebra of kan worden toegevoegd als aanvulling op een middelbare school curriculum.

Cursusbeschrijving

Deze module is geschikt voor studenten aan de hogeschool of universiteit (eerstejaars), maar ook voor middelbare scholieren in hun laatste jaar. De module kan worden ingezet in een flipped classroom-setting in zowel het midelbaar als hoger onderwijs, en ook als zelfstudie of bijlesmodule voor studenten aan de hogeschool of universiteit. De minimale en belangrijkste theorie staat in de blokken op de pagina's, aanvullende en meer geavanceerde theorie, zoals bewijzen, staat in de tabjes.

Hieronder staan de leeruitkomsten van deze module. Hierin wordt beschreven welke essentiële vaardigheden en kennis studenten moeten verwerven.

Leeruitkomsten

De student...

...begrijpt complexe getallen als een uitbreiding van reële getallen, evalueert wortels van negatieve getallen en herkent dat complexe getallen ontstaan als oplossingen van vergelijkingen van de vorm #x^2 + c^2=0#;
...onderscheidt tussen hun imaginaire en reële componenten, geeft deze weer in zowel cartesische als polaire vorm en voert basisbewerkingen tussen hen uit, zoals optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, complexe conjugatie en delen;
...werkt met complexe functies, zoals exponentiële functies en logaritmen, en reproduceert en past Euler's representatie van complexe getallen en de stelling van De Moivre toe;
...begrijpt complexe veeltermfuncties, hoe deze te ontbinden en hun wortels te verkrijgen, en reproduceert en past de hoofdstelling van de algebra toe.

Voor deze cursus is basiskennis van algebra, functies, veeltermen (polynomen), goniometrie, exponentiële en logaritmische functies vereist. Deze kennis kan worden opgedaan met onze cursus Basiswiskunde.

Beschrijving van de cursus

Deze module bestaat uit twee hoofdstukken. Het eerste hoofdstuk introduceert de imaginaire eenheid en bewerkingen met complexe getallen, zowel in cartesische als polaire vorm. Het tweede hoofdstuk gaat verder met complexe functies en polynomen, met aandacht voor de formule van Euler, de stelling van De Moivre, eenheidswortels en oplossingen van complexe veeltermen. Beide hoofdstukken sluiten af met een pakket met toepassingen in de wetenschap en techniek.

Module-inhoud

Deze module bestaat uit twee hoofdstukken met elk twee subhoofdstukken, buiten de inleiding en conclusie.

Hoofdstukken	Subhoofdstukken	Aantal theoriepagina's	Aantal oefeningen
Bewerkingen met complexe getallen	Inleiding tot complexe getallen	1	0
	Rekenen met complexe getallen	3	24
	Meer bewerkingen met complexe getallen	4	49
	Besluit van bewerkingen met complexe getallen	1	10
Complexe functies en veeltermen	Inleiding tot complexe functies en veeltermen	1	0
	Complexe functies	5	54
	Complexe veeltermen	3	33
	Besluit van complexe functies en veeltermen	1	12

Studielast : 1 ECT.

Hoe organiseer je je cursus?

Hieronder vind je een selectie van voorgestelde oefeningen voor demonstratie in de klas en voor de studenten om zelf mee te oefenen (oefeningen die geschikt zijn voor demonstratie, zijn ook geschikt om te oefenen). Verderop in dit document vind je ook een voorbeeld van een diagnostische test. Uitgaande van drie tot vier lesuren per week, kan deze module in drie weken worden behandeld.

Voorbeeld cursusplan 1

Hoofdstuk	Subhoofdstuk	Aanbevolen voor demonstratie (samen oplossen)	Aanbevolen voor oefening (student)
Bewerkingen met complexe getallen	Rekenen met complexe getallen Imaginaire getallen Complexe getallen Basisbewerkingen met complexe getallen	Oefening 2 (107208) en 4 (107219) over imaginaire getallen Oefening 1 (107252) over complexe getallen Oefening 1 (107264), 4 (107272) en 6 (107269) over basisbewerkingen met complexe getallen	Oefening 1 (107209) en 5 (107221) over imaginaire getallen Oefening 3 (107261) over complexe getallen Oefening 2 (107266), 3 (107271) en 5 (107267) over basisbewerkingen met complexe getallen
	Meer bewerkingen met complexe getallen Complexe conjugatie en norm Het quotiënt van twee complexe getallen Poolcoördinaten Bewerkingen op complexe getallen in poolcoördinaten	Oefening 3 (141039) en 8 (140657 + 140658) over complexe conjugatie en norm Oefening 3 (141076) en 6 (140934) over het quotiënt van twee complexe getallen Oefening 1 (141931) en 4 (142872) over poolcoördinaten Oefening 3 (142090) en 4 (141812 + 141813) over bewerkingen met complexe getallen in poolcoördinaten	Oefening 1 (140829) en 9 (140772) over complexe conjugatie en norm Oefening 2 (140576), 5 (140600) en 7 (140930) over het quotiënt van twee complexe getallen Oefening 2 (141381) en 3 (141516) over poolcoördinaten Oefening 1 (146820), 2 (146821) en 5 (141843 + 141844) over bewerkingen met complexe getallen in poolcoördinaten
	Besluit van bewerkingen met complexe getallen Toepassingen
Complexe functies en veeltermen	Complexe functies De complexe exponentiële functie Formule van Euler en goniometrische functies De complexe logaritme De stelling van De Moivre Eenheidswortels en complexe getallen	Oefening 3 (141725) en 6 (142631) over de complexe exponentiële functie Oefening 6 (142615 + 142827 + 142828) over de formule van Euler en goniometrische functies Oefening 1 (143117) en 4 (143489) over de complexe logaritme Oefening 2 (143662) en 6 (143753 + 143858) over de stelling van De Moivre Oefening 1 (143826) en 4 (143308) over eenheidswortels en complexe getallen	Oefening 4 (141521) en 7 (142399) over de complexe exponentiële functie Oefening 7 (142732) en 8 (142846) over de formule van Euler en goniometrische functies Oefening 2 (143078) en 3 (143243) over de complexe logaritme Oefening 3 (143733) over de stelling van De Moivre Oefening 3 (143771) en 5 (143951) over eenheidswortels en complexe getallen
	Complexe veeltermen Complexe veeltermen Kwadratische formule en de hoofdstelling van de algebra Reële coëfficiënten en geconjugeerde wortels	Oefening 1 (143948) en 5 (144236) over complexe veeltermen Oefening 2 (144543) en 7 (144945) over de complexe abc-formule en de hoofdstelling van de algebra Oefening 2 (144637) en 8 (144683) over reële coëfficiënten en geconjugeerde nulpunten	Oefening 4 (144541) en 7 (144298) over complexe veeltermen Oefening 1 (144359 + 144364) en 9 (144114) over de complexe abc-formule en de hoofdstelling van de algebra Oefening 3 (144561) en 9 (144692) over reële coëfficiënten en geconjugeerde nulpunten
	Besluit van complexe functies en veeltermen Toepassingen

Toetsen

Hieronder een selectie van oefeningen die geschikt zijn om het niveau van een student ten aanzien van de inhoud van deze module te diagnosticeren.

Voorbeeld diagnostische test

Hoofdstuk	Subhoofdstuk	Aanbevolen voor diagnostische tests
Bewerkingen met complexe getallen	Rekenen met complexe getallen Imaginaire getallen Complexe getallen Basisbewerkingen met complexe getallen	Oefening 3 (107218) en 6 (107220) over imaginaire getallen Oefening 5 (140771) over complexe getallen Oefening 9 (145700) over basisbewerkingen met complexe getallen
	Meer bewerkingen met complexe getallen Complexe conjugatie en norm Het quotiënt van twee complexe getallen Poolcoördinaten Bewerkingen op complexe getallen in poolcoördinaten	Oefening 10 (140887) en 11 (140889) over complexe conjugatie en norm Oefening 8 (140487) en 10 (141025) over het quotiënt van twee complexe getallen Oefening 8 (141906 + 141907) over poolcoördinaten Oefening 7 (142099) over bewerkingen met complexe getallen in poolcoördinaten
	Besluit van bewerkingen met complexe getallen Toepassingen
Complexe functies en veeltermen	Complexe functies De complexe exponentiële functie Formule van Euler en goniometrische functies De complexe logaritme De stelling van De Moivre Eenheidswortels en complexe getallen	Oefening 10 (142317) over de complexe exponentiële functie Oefening 9 (142832) over de formule van Euler en goniometrische functies Oefening 8 (143536) over de complexe logaritme Oefening 7 (143811) over de stelling van De Moivre Oefening 7 (143872) over eenheidswortels en complexe getallen
	Complexe veeltermen Complexe veeltermen Kwadratische formule en de hoofdstelling van de algebra Reële coëfficiënten en geconjugeerde wortels	Oefening 10 (144529) over complexe veeltermen Oefening 3 (143991) en 10 (144237) over de complexe abc-formule en de hoofdstelling van de algebra Oefening 7 (144194) over reële coëfficiënten en geconjugeerde nulpunten
	Besluit van complexe functies en veeltermen Toepassingen

Hulpmiddelen en bronnen voor docenten

'Best practices' en tips

In het eerste hoofdstuk maken studenten kennis met complexe getallen. Ze leren deze zowel analytisch als in een Arganddiagram weer te geven.

Visuele demonstraties van complexe getallen en hun bewerkingen in een Arganddiagram kunnen helpen bij het ontwikkelen van de intuïtie en het vergemakkelijken van het werk van de studenten in het tweede hoofdstuk.
De norm van een complex getal en complexe conjugatie worden in het eerste hoofdstuk geïntroduceerd en zijn cruciaal voor het begrijpen van de inhoud van het tweede hoofdstuk. Het gebruik van visualisatie om complexe conjugatie te illustreren en de norm te verbinden met de stelling van Pythagoras kan studenten helpen deze concepten snel te internaliseren.
Het beheersen van de omschakeling tussen cartesische en polaire representaties van complexe getallen is cruciaal om de introductie van Eulers formule in hoofdstuk twee te volgen. Herhaalde oefening van deze transformaties is zeer nuttig, met name met de nadruk op het verschil tussen de hoofdwaarde en de algemene polaire coördinaten.

Aanvullende bronnen

De theoriepagina's bevatten video-uitleg van de belangrijkste concepten. Deze en aanvullende video's zijn beschikbaar op het YouTube-kanaal van Sowiso Explains.