Complexe functies en veeltermen: Complexe functies
De complexe exponentiële functie
Tot nu toe hebben we bestudeerd hoe we de machten van complexe getallen kunnen berekenen, zoals #\blue{z}^n# voor #n# reëel. We zullen nu van rol wisselen en leren hoe getallen van de vorm #t^\blue{z}# eruitzien voor #t# reëel en #\blue{z}# complex. We zullen ons eerst richten op het geval #t=\e#, wat ons eerste voorbeeld zal zijn van een exponentiële functie van complexe getallen.
De complexe exponentiële functie
Laat #\blue{z}=\green{a}+\orange{b}\cdot\complexi#. De complexe exponentiële functie is gedefinieerd als
Hieruit volgt dat de norm, #\norm{\e^{\blue{z}}}#, en de hoek, #\theta#, van #\e^{\blue{z}}# respectievelijk worden gegeven door #\e^{\green{a}}# en #\orange{b}#. \[\begin{array}{rcl}\e^{\blue{z}}&=&\e^{\green{a}}\cdot\left(\cos(\orange{b})+\sin(\orange{b})\cdot\complexi\right)\\ &=&\norm{\e^{\blue{z}}}\cdot\left(\cos\left(\theta\right)+\sin\left(\theta\right)\cdot\complexi\right)\end{array}\]
waarbij #\theta# de hoek van het getal #\e^{\blue{z}}# aangeeft, niet de hoek van #\blue{z}#.
Deze video geeft een voorbeeld van hoe je de exponentiële functie van een complex getal #\blue z# berekent. Ook worden er enkele rekenregels voor complexe exponenten gegeven.
De video is alleen beschikbaar in het Engels.
De stem in de video is door AI gegenereerd en geen menselijke stem.
In de visualisaties kunnen we zien wat er met #\e^{\blue{z}}# gebeurt als we de waarde van #\green a# of #\orange b# vastleggen en de andere variëren.
Voorbeelden
Voorbeeld 1
Beschouw #\blue{z}=\orange{\pi}\cdot\complexi#. Dan is #\green{a}=\green{0}# en #\orange{b}=\orange{\pi}#. Hieruit volgt dat \[\begin{array}{rcl} \e^{\blue{z}} \; = \; \e^{\orange{\pi}\cdot\complexi} &=&\e^{\green{0}} \cdot \left(\cos\left(\orange{\pi}\right)+\sin\left(\orange{\pi}\right)\cdot\complexi\right)\\ &=&-1\end{array}\]
Dit staat bekend als de identiteit van Euler, vaak geschreven als #\;\e^{\orange{\pi}\cdot\complexi}+1=0#.
Voorbeeld 2
Beschouw #\e^{\blue{z}}=1+\complexi#. We kunnen de rechterkant in polaire vorm schrijven en krijgen \[ 1+\complexi = \green{\sqrt{2}}\cdot\left(\cos\left(\orange{\frac{\pi}{4}}\right)+\sin\left(\orange{\frac{\pi}{4}} \right)\cdot\complexi\right)\]
en #\blue{z}# wordt gegeven door \[\blue{z}=\green{\ln\left(\sqrt{2}\right)}+\orange{\frac{\pi}{4}}\cdot \complexi\]
Visualisatie I
In deze visualisatie hebben we drie punten met gelijke #\green{a}# en verschillende #\orange{b}#. Aangezien ze alleen verschillen in de #\orange{b}# waarde, hebben hun exponentiële waarden dezelfde grootte en liggen ze op een cirkel met een straal van #\e^{\green{a}}#.
In deze visualisatie hebben we drie punten met gelijke #\orange{b}# en verschillende #\green{a}#. Omdat ze alleen verschillen in #\green{a}#, hebben hun exponentiële waarden allemaal hetzelfde argument en verschillende groottes.
Merk op dat als #\orange{\mathrm{Im}(z)}=\orange{0}#, dan is #\mathrm{Arg}\left(\e^{\blue{z}}\right)=0# en ligt #\e^{\blue{z}}# op de positieve reële as, wat overeenkomt met de exponentiële waarde van het reële getal #\blue{z}#.
Als #\blue{z}# puur imaginair is, dan is #\blue{z}=\orange{b}\cdot\complexi# en is dus ook #\norm{\e^{\blue{z}}}=1#, wat betekent dat #\e^{\blue{z}}# zich op de eenheidscirkel op het complexe vlak bevindt, waarbij de waarde van #\orange{b}# de hoek met de reële positieve as bepaalt.
We herkennen de polaire vorm in de definitie van de complexe exponentiële functie. We bekijken nu enkele rekenregels voor complexe exponentiële functies.
Regels voor het rekenen met complexe exponenten
De exponentiële functie van een complex getal voldoet aan de volgende eigenschappen:
Voor dit bewijs gebruiken we de vierde regel en de regel dat elk (complex) getal gedeeld door zichzelf gelijk is aan #1#. We beginnen met het schrijven van #\blue 0 =z-z#. \[\e^\blue{0}=\e^{z-z} = \dfrac{\e^z}{\e^z}=1 \] waarmee het bewijs is afgerond.
Bewijs van #\e^{-\blue z} = \dfrac{1}{\e^\blue z}#
Laat #\blue{z}=\green{a} +\orange{ b}\cdot\complexi# zijn. Dan is #-\blue{z}=-\green{a} -\orange{ b}\cdot\complexi#.
Eerst herschrijven we de linkerkant. \[\begin{array}{rcl} \e^{-\blue{z}} &=&\e^{-\green{a}} \cdot \left(\cos\left(-\orange{b}\right)+\sin\left(-\orange{b}\right)\cdot \ii \right) \\ &&\quad\blue{\text{de definitie van de complexe exponentiële functie gebruikt}}\\ &=&\dfrac{1}{\e^{\green a}} \cdot \left(\cos\left(\orange{b}\right)-\sin\left(\orange{b}\right)\cdot \ii\right) \\ &&\quad \blue{ x^{-n}=\frac{1}{x^n} \text{gebruikt met } x \text{ en } n \text{ reëel, en } }\\ &&\quad \blue{\cos(- \alpha)=\cos(\alpha)\text{ and }\sin(-\alpha)=-\sin(\alpha)} \end{array} \]
Dan herschrijven we de rechterkant. \[\begin{array}{rcl} \dfrac{1}{\e^{\blue z}} &=&\dfrac{1}{\e^{\green{a}} \cdot \left(\cos\left(\orange{b}\right)+\sin\left(\orange{b}\right)\cdot \ii\right)} \\ &&\quad\blue{\text{de definitie van de complexe exponentiële functie gebruikt}}\\ &=&\dfrac{\cos\left(\orange{b}\right)-\sin\left(\orange{b}\right)\cdot \ii}{\e^{\green a} \cdot \left( \cos\left(\orange{b}\right)+\sin\left(\orange{b}\right)\cdot \ii \right) \cdot \left( \cos\left(\orange{b}\right)-\sin\left(\orange{b}\right)\cdot \ii \right)}\\ &&\quad \blue{\text{vermenigvuldigd en gedeeld door de complex geconjugeerde van }\cos(b)+\sin(b) \cdot \ii}\\ &=&\dfrac{\cos\left(\orange{b}\right)-\sin\left(\orange{b}\right)\cdot \ii}{ \e^{\green a} \cdot \left( \left( \cos(\orange{b}) \right)^2 + \left( \sin(\orange{b}) \right)^2 \right)}\\ &&\quad \blue{\text{haakjes weggewerkt}}\\ &=&\dfrac{1}{\e^{\green a}} \cdot \left(\cos\left(\orange{b}\right)-\sin\left(\orange{b}\right)\cdot \ii\right) \\ &&\quad \blue{\text{vereenvoudigd met } \left( \sin(\alpha) \right)^2 + \left( \cos(\alpha) \right)^2 = 1}\\ \end{array}\]
Ten slotte zien we dat zowel de linker- als de rechterzijde op dezelfde manier kunnen worden geschreven, wat de vergelijking bewijst.
Bewijs van #\e^{\blue{z}}\cdot \e^{\purple{w}}=\e^{\blue{z}+\purple{w}}#.
Laat #\blue{z}=\green{a}+\orange{b}\cdot\complexi# en #\purple{w}=\green{c}+\orange{d}\cdot\complexi#. We weten dat #\blue{z}+\purple{w}=\left(\green{a}+\green{c}\right)+\left(\orange{b}+\orange{d}\right)\cdot\complexi#. Daarom, met behulp van de definitie van complexe exponentiële functie, \[\e^{\blue{z}+\purple{w}}=\e^{\green{a}+\green{c}}\cdot\left(\cos\left(\orange{b}+\orange{d}\right)+\sin\left(\orange{b}+\orange{d}\right)\cdot\complexi\right)\] We laten nu zien dat #\e^{\blue{z}}\cdot \e^{\purple{w}}# gelijk is aan de rechterkant van de vorige vergelijking door de definitie van complexe exponentiële functie en goniometrische identiteiten te gebruiken. \[\begin{array}{rcl} \e^{\blue{z}}\cdot \e^{\blue{w}}&=& \left(\e^{\green{a}+\orange{b}\cdot\complexi}\right) \cdot\left(\e^{\green{c}+\orange{d}\cdot\complexi}\right)\\ &&\quad\blue{z\text{ en }w\text{ in termen van hun reële en imaginaire delen geschreven}}\\ &=& \left(\e^{\green{a}}\cdot\left(\cos\left(\orange{b}\right)+\sin\left(\orange{b}\right)\cdot\complexi\right)\right) \cdot \left(\e^{\green{c}}\cdot\left(\cos\left(\orange{d}\right)+ \sin\left(\orange{d}\right)\cdot\complexi\right)\right)\\ &&\quad\blue{\text{de definitie van de complexe exponentiële functie gebruikt}}\\ &=& \e^{\green{a}+\green{c}}\cdot\left(\cos\left(\orange{b}\right)\cdot\cos\left(\orange{d}\right)-\sin\left(\orange{b}\right)\cdot\sin\left(\orange{d}\right)+ \left(\cos\left(\orange{b}\right)\cdot\sin\left(\orange{d}\right)+\sin\left(\orange{b}\right)\cdot\cos\left(\orange{d}\right)\right)\cdot\complexi\right)\\ &&\quad\blue{\e^x\cdot\e^y=\e^{x+y}\text{ voor reële getallen gebruikt en vereenvoudigd en de haakjes uitgewerk in de goniometrische termen}}\\ &=&\e^{\green{a}+\green{c}}\cdot\left(\cos\left(\orange{b}+\orange{d}\right)+\sin\left(\orange{b}+\orange{d}\right)\cdot\complexi\right)\\ &&\quad\blue{\cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)\cdot\cos(\beta)-\sin(\alpha)\cdot\sin(\beta)}\\ &&\quad\blue{\text{ en }\sin(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)\cdot\sin(\beta)+\cos(\beta)\cdot\sin(\alpha)\text{ gebruikt}}\end{array}\] en dat is precies wat we wilden bewijzen.
Bewijs van #\frac{\e^{\blue{z}}}{\e^{\purple{w}}}=\e^{\blue{z}-\purple{w}}#.
Dit volgt automatisch uit de tweede en derde regel. \[\dfrac{\e^{\blue{z}}}{\e^{\purple{w}}}=\e^{\blue{z}} \cdot \dfrac{1}{\e^{\purple{w}}}= \e^{\blue z} \cdot \e^{- \purple w} =\e^{\blue z - \purple w} \]
Bewijzen regel 5 - 6
Bewijs van #\left(\e^{\blue{z}}\right)^n=\e^{\left(\blue{z}\cdot n\right)}#.
We zullen het bewijzen met inductie. De eerste stap is om te tonen dat de vergelijking geldt voor de basisgeval, #n=1#. In dat geval hebben we #\e^{\blue{z}}=\e^{\blue{z}}#, wat duidelijk waar is. Vervolgens nemen we aan dat de vergelijking waar is voor #n=k#, de inductiehypothese. Nu schrijven we de vergelijking voor #n=k+1#, en met behulp van de inductiehypothese tonen we aan dat het waar is, en dus tonen we aan dat het waar is voor alle #n#, \[\begin{array}{rcl} \displaystyle \left(\e^{\blue{z}}\right)^{k+1}&=& \displaystyle\e^{\blue{z}\cdot\left(k+1\right)}\\ &&\quad\blue{\text{de vergelijking voor }n=k+1\text{ geschreven}}\\ \displaystyle\left(\e^{\blue{z}}\right)^k\cdot\left(e^{\blue{z}}\right)&=&\displaystyle\e^{\blue{z}\cdot k+\blue z}\\ &&\quad\blue{y^{a+b}=y^a\cdot y^b\text{ aan de linkerkant gebruikt voor }y=\e^z}\\ &&\quad\blue{\text{en de haakjes uitgewerkt in de exponent aan de rechterkant }}\\ \displaystyle\left(\e^{\blue{z}}\right)^k\cdot\left(\e^{\blue{z}}\right)&=&\displaystyle\e^{\blue{z}\cdot k}\cdot\e^{\blue{z}}\\ &&\quad\blue{\e^{a+b}=\e^a\cdot\e^b\text{ gebruikt aan de rechterkant}}\\ \left(\e^{\blue{z}}\right)^k\cdot \e^{\blue{z}} &=& \left(\e^{\blue{z}}\right)^k\cdot \e^{\blue{z}}\\ &&\quad\blue{\text{de inductiehypothese gebruikt, d.w.z. }\left(\e^z\right)^k=\e^{z\cdot k} \text{ aan de rechterkant}}\end{array}\]
wat het bewijs afrondt.
Bewijs van #\overline{\,\e^{\blue{z}}}=\e^{\blue{\overline{z}}}#.
Laat #\blue{z}=\green{a} +\orange{ b}\cdot\complexi#. Herinner je #\blue{\overline{z}}=\green{a}-\orange{b}\cdot\complexi# en #\e^{\blue{z}}=\e^{\green{a}}\cdot\left(\cos(\orange{b})+\sin(\orange{b})\cdot\complexi\right)#. Laten we nu de uitdrukkingen aan beide zijden van de vergelijking afzonderlijk berekenen. \[\begin{array}{rcl}\overline{\,\e^{\blue{z}}} &=& \overline{\e^{\green{a}}\cdot\left(\cos\left(\orange{b}\right)+\sin\left(\orange{b}\right)\cdot\complexi\right)}\\ &&\quad\blue{\text{de definitie van de complexe exponentiële functie }\e^z\text{ gebruikt}}\\ &=&\e^{\green{a}}\cdot\left(\cos\left(\orange{b}\right)-\sin\left(\orange{b}\right)\cdot\complexi\right) \\&&\quad\blue{\text{de definitie van de complex geconjugeerde gebruikt, }} \\&&\quad\blue{\text{het teken van het imaginaire deel omgedraaid}}\end{array}\]
En \[\begin{array}{rcl}\e^{\blue{\overline{z}}}&=&\e^{\green{a}}\cdot \left(\cos\left(\orange{-b}\right)+\sin\left(\orange{-b}\right)\cdot\complexi \right)\\ &&\quad\blue{\text{de definitie van complexe exponentiiele functie op het getal }\bar{z} \text{ gebruikt}}\\ &=&\e^{\green{a}}\cdot \left(\cos(\orange{b})-\sin(\orange{b})\cdot\complexi \right)\\ &&\quad\blue{\cos(- \alpha)=\cos(\alpha)\text{ en }\sin(-\alpha)=-\sin(\alpha)} \end{array}\] De laatste stap zorgde ervoor dat de rechterkant van #\e^{\blue{\overline{z}}}# hetzelfde is als de rechterkant van #\overline{\,\e^{\blue{z}}}#, waarmee het bewijs voltooid is.
Belangrijk verschil tussen reële en complexe exponentiële getallen
Als we met reële getallen werken, laten we ze #\blue{p}# en #\blue{q}# noemen, weten we dat als #\e^{\blue{p}}=\e^{\blue{q}}#, we kunnen concluderen dat #\blue{p}=\blue{q}#. Dit geldt niet voor complexe getallen. Neem bijvoorbeeld #\blue{z}=\orange{\pi}\cdot\complexi# en #\blue{w}=\orange{3\cdot\pi}\cdot\complexi#. Er geldt \[\e^{\orange{\pi}\cdot\complexi}=\cos\left(\orange{\pi}\right)+\sin\left(\orange{\pi}\right)\cdot\complexi = -1\]
en \[\e^{\orange{3\cdot\pi}\cdot\complexi}=\cos\left(\orange{3\cdot \pi}\right)+\sin\left(\orange{3\cdot \pi}\right)\cdot\complexi = -1\] Ondanks #\e^{\orange{\pi}\cdot\complexi}=\e^{\orange{3\cdot\pi}\cdot\complexi}# weten we dat #\orange{\pi} \neq \orange{3\pi}#.
Tot nu toe hebben we alleen de machtsverheffing van complexe getallen voor grondtal #\e# gedefinieerd. Hieronder breiden we deze definitie uit naar andere reële grondtallen.
Exponentiële functie met andere reële grondtallen
Laat #t# een positief reëel getal zijn en #\blue{z}=\green{a}+\orange{b}\cdot\complexi# een willekeurig complex getal.
We definiëren de machtsverheffing van complexe getallen met grondtal #t# als volgt: \[t^{\blue{z}}=\e^{\ln\left(t\right)\cdot \blue{z}}=\e^{\ln(t)\cdot \green{a}}\cdot\left(\cos\left(\ln\left(t\right)\cdot \orange{b}\right)+\sin\left(\ln\left(t\right)\cdot \orange{b}\right)\cdot\complexi \right)\]
Opmerking
Alle eigenschappen die in het blok "Regels voor het rekenen met complexe exponenten" worden genoemd, zijn ook toepasbaar op exponenten met verschillende grondtallen. Als de exponent grondtal #t# heeft, gelden dezelfde regels maar dan is #\e# vervangen door #t#.
Beschouw #\blue{z}=\green{\frac{1}{2}}+\orange{4}\cdot \ii#. \[\begin{array}{rcl} 9^{\blue{z}}&=&\e^{\ln\left(9\right)\cdot\blue{z}}\\ &=&\e^{\ln(9)\cdot\green{\frac{1}{2}}}\cdot\left(\cos\left(\ln(9)\cdot\orange{4}\right)+\sin\left(\ln(9)\cdot\orange{4}\right)\cdot\ii\right)\\ &=&\e^{\ln(3)}\cdot\left(\cos\left(\ln(3)\cdot 8\right)+\sin\left(\ln(3)\cdot 8\right)\cdot \ii\right)\end{array}\] waar we in de laatste regel #\ln\left(9\right)=2\cdot \ln(3)# gebruikten.
Vraag een demo account aan. Wij helpen je graag op weg met onze digitale leeromgeving.
Maak demo account aan
Toegang voor student
Is jouw universiteit niet aangesloten?
Via Pass Your Math kan je toegang krijgen tot onze cursussen onafhankelijk van je onderwijsinstelling. Bekijk de prijzen en nog veel meer. Of ga naar omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
De complexe exponentiële functie
