Complexe functies en veeltermen: Complexe functies
De complexe logaritme
In onze studie van de complexe exponentiële functie vonden we een eerste voorbeeld van een functie die een complex getal in een ander complex getal afbeeldt. Deze keer zullen we kijken naar hoe we de inverse, de complexe logaritmische functie, kunnen definiëren. Omdat de complexe exponentiële functie niet injectief is, dat wil zeggen, er kan gelden #\e^{a\cdot\complexi}=\e^{b\cdot\complexi}# zonder dat #a=b# geldt, zullen we eerst enkele algemene overwegingen over complexe functies opstellen.
Voordat we complexe getallen bestudeerden, kwamen we functies tegen zoals #f(x)=x^2# die een reëel getal, #x#, op een ander reëel getal, #x^2#, afbeelden. Een manier om aan te geven dat #f# een functie is van #\mathbb{R}# naar #\mathbb{R}# is als \[f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\] waarbij het eerste voorkomen van #\mathbb{R}# het domein van #f# aanduidt en de tweede het codomein, dat wil zeggen, de ruimte waarop #x# wordt afgebeeld. Deze notatie kan worden toegepast op functies die niet alleen van reële getallen naar reële getallen zijn.
Complexe functies
Een complexe functie is een functie #f# met het complexe vlak #\mathbb{C}# als zijn domein en codomein, \[f: \mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C}\]
Voorbeeld
De exponentiële functie \[f(\blue{z})=\e^{\blue{z}}\]
Toepassingen in de echte wereld
Een van de meest gebruikte complexe functies is de complexe exponentiële functie, vooral op het gebied van Fourier-analyse, waar complexe exponentiële functies worden gebruikt om signalen, zoals muzikale noten, te ontleden in hun samenstellende frequenties.
Complexe functies worden ook gebruikt om elektrische circuits te beschrijven, met name wisselstroom circuits (AC), die aanwezig zijn in de meeste dagelijkse toepassingen. Bijvoorbeeld, de voortplantingsconstante van een golf die de spanning van een AC-circuit beschrijft, wordt gedefinieerd met een complexe logaritme.
Codomein, bereik en afbeelding
Het codomein van een functie is niet hetzelfde als de vaak genoemde afbeelding of het bereik van de functie. Het codomein verwijst naar de ruimte waartoe #x# wordt afgebeeld, terwijl het bereik van #f# de verzameling punten van het codomein zijn die daadwerkelijk door de functie worden bereikt. In ons voorbeeld van #f(x)=x^2# is het codomein #\mathbb{R}#, terwijl het bereik #\left\{ x \in \mathbb{R} | x\geq 0 \right\}# is, of met andere woorden, alle #x\geq 0#.
Er zijn functies waarvan het domein en het codomein ruimtes zijn anders dan #\mathbb{R}# of #\mathbb{C}#, maar we zullen ze op dit moment niet overwegen.
Laat ons nu de complexe logaritmische functie definiëren.
Complexe logaritme
Laat #\blue{z}=\green{r}\cdot \e^{\orange{\varphi}\cdot\complexi}# een complex getal zijn in polaire-exponentiële vorm (het argument #\orange{\varphi}# is de hoofdwaarde, en daarom is #-\pi<\orange{\varphi}\leq \pi#).
We definiëren de complexe natuurlijke logaritme van #\blue{z}# als \[ \ln(\blue{z})=\ln(\green{r}) + \orange{\varphi}\cdot\complexi\]
Als #\blue{z}# geschreven is met een poolcoördinaat #\orange{\theta}# die voldoet aan #\orange{\theta}\leq -\pi# of #\orange{\theta}>\pi#, moeten we #\blue{z}# herschrijven op een manier dat #- \pi<\orange{\theta}\leq \pi# voordat we de logaritme berekenen.
Deze video toont hoe we de complexe natuurlijke logaritme van een complex getal #\blue{z}=\green{r}\cdot \e^{\orange{\varphi}\cdot\complexi}# kunnen berekenen, gegeven in polaire-exponentiële vorm als \[\ln(\blue{z})=\ln(\green{r}) + \orange{\varphi}\cdot\complexi\]
Het eindigt met het vermelden van rekenregels voor complexe logaritme functies.
De video is alleen beschikbaar in het Engels.
De stem in de video is door AI gegenereerd en geen menselijke stem.
Domein van de complexe logaritme
Merk op dat #\orange{\theta}# alleen uniek gedefinieerd is tot op een veelvoud van #2\pi#. Als we de logaritme hadden gedefinieerd zonder ons te beperken tot de hoofdwaarde van #\blue{z}#, dan was het geen functie geweest, zoals het volgende voorbeeld laat zien.
Laat #\blue{z}= \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \complexi#. In poolcoördinaten geldt dat #\green{r}=\green{1}# en #\orange{\theta}=\orange{\frac{\pi}{4}}+2\cdot k\cdot \pi# voor elke #k\in\mathbb{Z}#. Dus zouden we het volgende hebben \[\ln(\blue{z})=\left(\orange{\frac{\pi}{4}}+2\cdot k\cdot \pi\right)\cdot\complexi \] Dit komt overeen met een oneindige verzameling van imaginaire getallen voor alle mogelijke waarden van #k\in\mathbb{Z}#. Als we daarentegen de hoofdwaarde gebruiken, zou alleen #k=0# acceptabel zijn en \[\ln(\blue{z})=\orange{\frac{\pi}{4}}\cdot\complexi\]
Nu we de logaritme hebben gedefinieerd, kunnen we kijken naar enkele van zijn eigenschappen.
Rekenregels voor complexe logaritmen
Laat #\blue{z}# en #\purple{w}# complexe getallen zijn, met #n# een natuurlijk getal. De volgende drie eigenschappen zijn van toepassing op de complexe logaritmische functie.
#\ln\left(\blue{z}\cdot \purple{w}\right)=\ln\left(\blue{z}\right)+\ln\left(\purple{w}\right)# waarbij de hoofdwaarde #\mathrm{Arg}(\blue{z}\cdot \purple{w})# in het interval #\ivco{-\pi}{\pi}# ligt, wat betekent dat als #\mathrm{Arg}(\blue z)+\mathrm{Arg}(\purple w)# buiten het interval ligt, we #2\cdot \pi# van hun som moeten aftrekken (of erbij moeten optellen).
#\ln\left(\blue{z}^n\right)=n\cdot\ln\left(\blue{z}\right)# waarbij we opnieuw voorzichtig moeten zijn met de argumenten aan beide zijden van deze vergelijking.
Bewijs van #\ln\left(\blue{z}\cdot \purple{w}\right)=\ln\left(\blue{z}\right)+\ln\left(\purple{w}\right)#. Laat #\blue{z}=\green{r}_{\blue z}\cdot \e^{\orange{\varphi}_{\blue z}\cdot\complexi}# en #\purple{w}=\green{r}_{\purple w}\cdot \e^{\orange{\varphi}_{\purple w}\cdot\complexi}#. Dan is #\blue{z}\cdot \purple{w}# gegeven door \[\blue{z}\cdot \purple{w}=\left(\green{r}_{\blue z}\cdot \green{r}_{\purple w}\right) \cdot\e^{\left(\orange{\varphi}_{\blue z}+\orange{\varphi}_{\purple w}\right)\cdot \ii}\]De complexe logaritme nemen van #\blue{z}\cdot \purple{w}# levert ons \[\begin{array}{rcl} \ln\left(\blue{z}\cdot \purple{w}\right)&=&\ln\left(\green{r}_{\blue z}\cdot \green{r}_{\purple w}\right)+\left(\orange{\varphi}_{\blue z}+\orange{\varphi}_{\purple w}\right)\cdot \complexi\\ &&\quad\blue{\text{de definitie van de complexe logaritme toegepast}}\\ &=&\ln\left(\green{r}_{\blue z}\right)+\ln\left(\green{r}_{\purple w}\right)+\left(\orange{\varphi}_{\blue z}+\orange{\varphi}_{\purple w}\right)\cdot\ii \\ &&\quad\blue{\ln\left(a\cdot b\right)=\ln\left(a\right)+\ln\left(b\right)\text{ voor reële getallen }a\text{ en }b\text{ gebruikt}}\\ &=&\left(\ln\left(\green{r}_{\blue z}\right) + \orange{\varphi}_{\blue z}\cdot\ii\right)+\left(\ln\left(\green{r}_{\purple w} \right)+\orange{\varphi}_{\purple w}\cdot\ii\right)\\ &&\quad\blue{\text{de bijdragen van }z \text{ en } w \text{ bij zichzelf gegroepeerd}}\\ &=&\ln\left(\blue{z}\right)+\ln\left(\purple{w}\right)\\ &&\quad\blue{\text{de definitie van de complexe logaritme twee keer toegepast}} \end{array}\]Dus is het bewijs afgerond.
Bewijs van #\ln\left(\blue{z}^n\right) =n\cdot \ln\left(\blue{z}\right)#. Voor dit bewijs moeten we de stelling van De Moivre gebruiken. Laat #\blue{z}=\green{r}\cdot \e^{\orange{\varphi}\cdot\complexi}#. We merken eerst op dat \[n\cdot\ln\left(\blue{z}\right)=n\cdot \ln\left(\green{r}\right) + n\cdot\orange{\varphi}\cdot\complexi\]Nu, om de identiteit te bewijzen, \[\begin{array}{rcl} \ln\left(\blue{z}^n\right)&=&\ln\left(\green{r}^n\cdot \e^{n \cdot \orange{\varphi}\cdot\complexi}\right)\\ &&\quad\blue{\text{de stelling van De Moivre gebruikt}}\\ &=&\ln\left(\green{r}^n\right)+\left(n \cdot \orange{\varphi}\right)\cdot\complexi\\ &&\quad\blue{\text{de complexe logaritme toegepast}}\\ &=&n\cdot\ln\left(\green{r}\right)+n\cdot\orange{\varphi}\cdot\complexi\\ &&\quad\blue{\ln\left(a^n\right)=n \cdot \ln\left(a\right)\text{ voor reële getallen gebruikt}}\\ &=&n\cdot\ln\left(\blue{z}\right)\\&&\quad\blue{\text{definitie van de complexe logaritme }\ln(z)=\ln\left(r\right)+\varphi\cdot \complexi} \end{array}\] wat het bewijs af maakt.
Bewijs #\e^{\ln\left(\blue{z}\right)}=\ln\left(\e^{\blue{z}}\right)=\blue{z}#. Laat #\blue{z}=\green{r}\cdot \e^{\orange{\varphi}\cdot\complexi}#. We bewijzen eerst dat de compositie van de exponentiële functie met de logaritme de waarde #\blue{z}# teruggeeft, \[\begin{array}{rcl}\e^{\ln\left(\blue{z}\right)}&=&\e^{\ln\left(\green{r}\right)+\orange{\varphi}\cdot \complexi}\\ &&\quad\blue{\text{de definitie van de logaritme van }z\text{ toegepast}}\\ &=& \e^{\ln\left(\green{r}\right)}\cdot \left( \cos(\orange{\varphi}) + \sin(\orange{\varphi})\cdot \ii \right) \\ &&\quad\blue{\text{de definitie van de complexe exponentiële functie toegepast}}\\ &&\quad\blue{\text{met }\mathrm{Re}\left(\ln(z)\right) = \ln(r) \text{ en } \mathrm{Im}\left(\ln(z)\right) =\varphi}\\ &=&\e^{\ln\left(\green{r}\right)}\cdot\e^{\orange{\varphi}\cdot\complexi}\\ &&\quad\blue{\text{de formule van Euler toegepast}}\\ &=&\green{r}\cdot \e^{\orange{\varphi}\cdot\complexi}\\ &&\quad\blue{\e^{\ln\left(a\right)}=a\text{ voor reële getallen gebruikt}}\\ &=&\blue{z} \end{array}\] en vervolgen met het omgekeerde, d.w.z. de compositie van de logaritme met de exponentiële functie geeft #\blue{z}# terug, \[\begin{array}{rcl} \ln\left(\e^{\blue{z}}\right)&=&\ln \left( \e^{\green{r}\cdot (\cos\left(\orange{\varphi}\right) + \sin\left(\orange{\varphi}\right)\cdot \ii } \right) \\ &&\quad \blue{\text{de polaire vorm van }z\text{ gebruikt}}\\ &=&\ln\left(\e^{\green{r}\cdot\cos\left(\orange{\varphi}\right)}\cdot\e^{\green{r}\cdot\sin\left(\orange{\varphi}\right)\cdot\complexi}\right)\\ &&\quad\blue{\text{de regel } \e^{z+w}=\e^z \cdot \e^w \text{ gebruikt}}\\ &=&\ln\left(\e^{\green{r}\cdot\cos\left(\orange{\varphi}\right)}\right)+\green{r}\cdot \sin\left(\orange{\varphi}\right)\cdot\complexi\\ &&\quad\blue{\text{de definitie van de complexe logaritme toegepast} }\\ &=&\green{r}\cdot\cos\left(\orange{\varphi}\right)+\green{r}\cdot\sin\left(\orange{\varphi}\right)\cdot\complexi\\ &&\quad\blue{\ln\left(\e^a\right)=a\text{ voor reële }a\text{ gebruikt}}\\ &=&\green{r}\cdot \e^{\orange{\varphi}\cdot\complexi}\\ &&\quad\blue{\text{omgezet naar polaire-exponentiële vorm}}\\ &=&\blue{z} \end{array}\]Daarmee is het bewijs afgerond.
Vraag een demo account aan. Wij helpen je graag op weg met onze digitale leeromgeving.
Maak demo account aan
Toegang voor student
Is jouw universiteit niet aangesloten?
Via Pass Your Math kan je toegang krijgen tot onze cursussen onafhankelijk van je onderwijsinstelling. Bekijk de prijzen en nog veel meer. Of ga naar omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
De complexe logaritme
