In dit hoofdstuk hebben we complexe functies verkend. We begonnen met de complexe exponentiële functie, die een complex getal #z=a+b\cdot\ii# neemt en het afbeeldt naar #\e^{z}=\e^{a}\cdot\left(\cos\left(b\right)+\sin\left(b\right)\cdot \ii\right)#. Dit stelde ons in staat om de formule van Euler te leren, #\e^{\theta\cdot \ii}=\cos\left(\theta\right)+\sin\left(\theta\right)\cdot \ii#, die we vervolgens gebruikten om de polaire-exponentiële formule van een complex getal te introduceren
\[\begin{array} {rcl}
z&=& r\cdot \e^{\theta\cdot \ii} \\ a&=& r\cdot \cos\left(\theta\right) \\ b&=& r\cdot\sin\left(\theta\right)\end{array}\]

Deze representatie vereenvoudigt veel complexe berekeningen en biedt duidelijke voordelen bij het begrijpen van rotaties en transformaties binnen het complexe vlak.

We hebben ook de complexe logaritme functie bestudeerd. Deze functie is alleen gedefinieerd voor de hoofdwaarde #\varphi# van een complex getal, waar #-\pi<\varphi\leq\pi#. Dan geldt voor #z=r\cdot \e^{\varphi\cdot\ii}# dat #\log\left(z\right)=\log\left(r\right)+\varphi \cdot \ii#. Na de logaritme hebben we de stelling van De Moivre bestudeerd, die ons in staat stelde om machten van complexe getallen te vereenvoudigen tot #z^n=r^n\cdot\e^{n\cdot \theta\cdot \ii}#. We hebben de stelling ook gebruikt om eenheden en nulpunten/wortels van complexe getallen te bespreken. We hebben zo geleerd dat een vergelijking van de vorm #z^n=w# altijd #n# oplossingen heeft.

Tenslotte hebben we complexe veeltermen bestudeerd. Dit leidde ons naar de hoofdstelling van de algebra, die ons toonde dat een complexe veelterm van graad #n# altijd #n# nulpunten/wortels heeft (niet noodzakelijkerwijs verschillend). Bovendien leerden we dat als de veelterm reële coëfficiënten heeft, de complexe nulpunten altijd in complex geconjugeerde paren komen, waarna we concludeerden dat veeltermen van oneven graad altijd minstens één reëel nulpunt hebben. Deze inzichten verrijkten ons begrip van hoe complexe getallen verschillende elementen in de algebra verenigen en een samenhangend kader bieden voor het aanpakken van veeltermvergelijkingen en het begrijpen van hun nulpunten, met name de rol van geconjugeerde paren.