De matrix van een lineaire afbeelding in de coördinaatruimte

Lineaire afbeeldingen: Matrices van lineaire afbeeldingen

De matrix van een lineaire afbeelding in de coördinaatruimte

We hebben eerder kennis gemaakt met de lineaire afbeelding $L_A: \mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^m$ bepaald door een $(m\times n)$ -matrix $A$ . We laten hier zien dat elke lineaire afbeelding tussen twee coördinaatruimten deze vorm heeft.

Merk op, om in te zien hoe dit kan, dat de kolommen van een reële $(m\times n)$ -matrix $A$ de beelden zijn onder $L_ A$ van de vectoren van de standaardbasis van $\mathbb{R}^n$ .

Laat $m$ en $n$ natuurlijke getallen zijn en laat $\varepsilon=\basis{\vec{e}_1,\ldots ,\vec{e}_n}$ de standaardbasis voor $\mathbb{R}^n$ zijn.

Elke lineaire afbeelding $L :\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^m$ is bepaald door de matrix $A = L_{\varepsilon}$ waarvan de kolommen ${ L (\vec{e}_1) ,\ldots , L (\vec{e}_n)}$ zijn.

De matrix $L_{\varepsilon}$ heet de matrix van de lineaire afbeelding $L$ .

Schrijf een vector $\vec{x}\in \mathbb{R}^n$ uit als lineaire combinatie van de standaardbasisvectoren: $x_1 \vec{e}_1 +\cdots + x_n\vec{e}_n$ . Dan geldt vanwege de lineariteit van $L$ $L(\vec{x})=x_1\cdot L (\vec{e}_1) +\cdots +x_n\cdot L (\vec{e}_n)$ Verzamel de $n$ vectoren $L( \vec{e}_1) ,\ldots , L( \vec{e}_n)$ als kolommen in een $(m\times n)$ -matrix $A = L_{\varepsilon}$ . Dan is $L(\vec{x}) =A\vec{x}$ waarbij het rechter lid het matrixproduct van $A$ en $\vec{x}$ voorstelt.

Beeldbepaling

Het beeld van de vector $\vec{x}$ onder $L$ is te berekenen als het matrixproduct $L_{\varepsilon}\vec{x}$ .

Bij elke lineaire afbeelding $L:V\to W$ en elke basis $\alpha$ van $V$ en basis $\beta$ van $W$ , zullen we later aangeven hoe je een matrix kunt vinden die de afbeelding beschrijft.

We zullen dan ${}_\beta L_{\alpha}$ schrijven voor de matrix en $L_{\alpha}$ als $\beta = \alpha$ . In de hier gebruikte notatie $L_\varepsilon$ komt de standaardbasis voor van $V$ . Als $V$ en $W$ beide coördinaatruimten zijn, dan gebruiken we voor het gemak ook wel $\varepsilon$ voor $W$ ; zodoende lijkt dus de notatie $L_\varepsilon$ op de afkorting voor ${}_\varepsilon L_\varepsilon$ .

Laat $\vec{a}$ een vector in een inproductruimte $V$ zijn. Omdat het inproduct $\dotprod{\vec{x}}{ \vec{y}}$ lineair in $\vec{y}$ is, is de afbeelding die aan $\vec{y}$ het inproduct $\dotprod{\vec{a}}{\vec{y}}$ toevoegt, een lineaire afbeelding $V\to\mathbb{R}$ . In het geval $V = \mathbb{R}^n$ met standaard inproduct valt $\dotprod{\vec{a}}{\vec{y}}$ samen met het matrixproduct $A\,\vec{y}$ , waarbij $A$ de $(1\times n)$ -matrix is met als enige rij de coördinaatvector $\vec{a}=\rv{a_1,\ldots,a_n}$ , want dan geldt

$\dotprod{\vec{a}}{\vec{y}}=a_1\cdot y_1+\cdots+a_n\cdot y_ n = \matrix{a_1&\cdots & a_n}\, \matrix{y_1\\ \vdots\\ y_n} = A\, \vec{y}$

We hebben dus een nieuwe rol voor matrices gevonden.

Laat $L:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ de lineaire afbeelding zijn gedefinieerd door
$L\left(\rv{x,y}\right)=\rv{-4\cdot x-8\cdot y, 7\cdot x+2\cdot y}$
Bepaal de matrix $L_{\varepsilon}$ van $L$ ten opzichte van de standaardbasis.

$L_\varepsilon =$ $\matrix{-4& -8\\ 7 & 2}$

Inderdaad geldt: $\begin{array}{rcl} L(\vec{e}_1) &=& \rv{-4\cdot 1 -8\cdot 0,7\cdot 1 + 2\cdot 0} = \rv{-4,7}\\ L(\vec{e}_2) &=&\rv{-4\cdot 0 -8\cdot 1,7\cdot 0 + 2\cdot 1} =\rv{-8,2}\end{array}$ Vanwege de stelling Lineaire afbeeldingen in coördinaatruimten bepaald door matrices zijn deze beeldvectoren, opgevat als kolomvectoren, de kolommen van $L_\varepsilon$ , zodat
$L_\varepsilon = \matrix{-4& -8\\ 7 & 2}$

Nieuw voorbeeld