Lineaire afbeeldingen: Matrices van lineaire afbeeldingen
Coördinatentransformaties
Met onze regels voor coördinatentransformaties kunnen we op andere bases overgaan. Dit levert een triviale maar belangrijke eigenschap:
Basisovergang
Als #\alpha# en #\beta# bases zijn voor een eindigdimensionale ruimte #V# en # L :V\rightarrow V# een lineaire afbeelding is, dan zijn de matrices #L_\beta# en #L_\alpha# aan elkaar gekoppeld door de gelijkheid \[L_\beta ={}_\beta I_\alpha \, L_\alpha \, {}_\alpha I_\beta\]
In het tweede voorbeeld van Matrix van een lineaire afbeelding zagen we dat \[D_\alpha =\left(\,\begin{array}{rrr}
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 2\\
0 & 0 & 0
\end{array}\,\right)\] de matrix is van differentiëren #D: P_2\to P_2# op de vectorruimte #P_2# van alle veeltermen met graad ten hoogste #2# ten opzichte van de basis #\alpha=\basis{1,x,x^2}#. We nemen nu een andere basis, #\beta=\basis{x^2-x,x^2+3,x^2-1}# voor #P_2# en proberen de matrix #D_\beta# van #D# te vinden. Rechtstreeks is dat wat lastig, maar we kunnen gebruik maken van:
\[
D_\beta={}_\beta I_\alpha \, D_\alpha \, {}_\alpha I_\beta
\] Vergelijken we #\alpha# met #\beta# dan zien we zonder te rekenen dat
\[
{}_\alpha I_\beta =\left(\,\begin{array}{rrr}
0 & 3 & -\,1 \\
-\,1 & 0 & 0\\
1 & 1 & 1
\end{array}\,\right)
\] dus
\[
{}_\beta I_\alpha = {}_\alpha I_\beta^{-1}=\frac14\left(\,\begin{array}{rrr}
0 & -\, 4 & 0\\
1 & 1 & 1\\
-\,1 & 3 & 3
\end{array}\,\right)
\] zodat
\[
D_\beta = {}_\beta I_\alpha \, D_\alpha \, {}_\alpha I_\beta=\frac14\left(\,\begin{array}{rrr}
-\,8 & -\, 8 & -\,8\\
1 & 2 & 2\\
7 & 6 & 6
\end{array}\,\right)
\] Wederom ter illustratie: #p(x)=2x^2-3x+5=3(x^2-x)+(x^2+3)-2(x^2-1)# heeft als #\beta#-coördinaten #\rv{3,1,-\,2}#, en
\[
D_\beta\ \left(\,\begin{array}{r}
3 \\ 1\\ -2\end{array}\,\right) = \frac14\ \left(\,\begin{array}{rrr}
-\,8 & -\,8 & -\,8\\
1 & 2 & 2\\
7 & 6 & 6
\end{array}\,\right) \, \left(\,\begin{array}{r}
3\\ 1\\ -\,2 \end{array}\,\right) = \frac{1}{4}\left(\begin{array}{c}
-16\\ 1 \\ 15 \end{array}\right)
\] Dit zouden de #\beta#-coördinaten van de afgeleide van #p(x)# moeten zijn, en dat klopt want \[-\,4(x^2-x)+\frac14(x^2+3)+\frac{15}{4}(x^2-1)=4x-3=p'(x)\]
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.