Laat #m# de verzameling oplossingen #\rv{x,y}# van de vergelijking #v\cdot x - u\cdot y = v\cdot a - u\cdot b# zijn. We moeten laten zien dat #\ell# en #m# samenvallen.

Voor elke waarde van #\lambda# is #\rv{x, y} =\rv{a, b}+ \lambda\cdot\rv{ u, v}# een oplossing van deze vergelijking. Immers, in deze situatie geldt #x=a+\lambda\cdot u# en #y=b+\lambda\cdot v#, zodat\[\begin{array}{rcl}v\cdot x - u\cdot y &=& v\cdot \left(a+\lambda\cdot u \right) - u\cdot \left(b+\lambda\cdot v \right)\\&=&v\cdot a+ v\cdot u\cdot\lambda-u\cdot b-u\cdot v\cdot\lambda\\&=&v\cdot a-u\cdot b\\ \end{array}\]Dit laat zien dat elk punt van #\ell# tot #m# behoort.

We moeten nog laten zien dat elk punt van #m# tot #\ell# behoort. Daartoe maken we gebruik van het feit dat #m# een lijn is. Dit is zo omdat #\rv{u,v}# een richtingsvector is, dus ongelijk aan #\rv{0,0}#. Dit betekent dat #u\ne0# of #v\ne0#. Als #u\ne0#, dan is de vergelijking van #m# te schrijven als \[y=\frac{v}{u}x-\frac{v\cdot a - u\cdot b}{u}\]en als #v\ne0#, dan is de vergelijking te schrijven als \[x= \frac{u}{v}\cdot y + \frac{v\cdot a - u\cdot b}{v}\tiny.\]In beide gevallen kunnen we de vergelijking als een parametervoorstelling opvatten:\[\rv{x,y} =\begin{cases}\rv{0,\frac{ u\cdot b-v\cdot a}{u}}+x\cdot\rv{1,\frac{v}{u}}&\text{ als } u\ne0\\\rv{\frac{v\cdot a - u\cdot b}{v},0}+y\cdot\rv{\frac{u}{v},1}&\text{ als }v\ne0\end{cases}\]De oplossingen van de vergelijking kunnen dus gegeven worden in de parametervoorstelling van een lijn, en vormen dus een lijn. Omdat de lijn #m# de lijn #\ell# bevat, moeten ze gelijk zijn. Dit bewijst de stelling.

Soms worden vectoren ook in kolommen beschreven. De parametervoorstelling van #\ell# ziet er dan als volgt uit:
\[
\left(\begin{array}{l}
x \\ y
\end{array}\right)
=
\left(\begin{array}{l}
a \\ b
\end{array}\right)
+
\lambda
\left(\begin{array}{l}
u \\ v
\end{array}\right)
\]We gaan hier later pas verder op in.

Vaak wordt ook #\rv{x_1,x_2}# geschreven in plaats van #\rv{x,y}#. Evenzo #\rv{a_1,a_2}# in plaats van #\rv{a,b}#, en #\rv{v_1,v_2}# in plaats van #\rv{u,v}#. Deze notatie is consistent met de notatie voor hogere dimensies.