Lineaire afbeeldingen: Lineaire afbeeldingen
Vastleggen van lineaire afbeeldingen
Laat #L:V\to W# een lineaire afbeelding tussen vectorruimten zijn. Als de beelden # L (\vec{a}_1), \ldots , L( \vec{a}_n)# onder #L# van de vectoren #\vec{a}_1,\ldots,\vec{a}_n# bekend zijn, dan is het beeld van elke lineaire combinatie van deze vectoren ook bekend vanwege de lineariteit:
\[
L (x_1 \vec{a}_1 + \cdots + x_n\vec{a}_n) =
x_1 L (\vec{a}_1) + \cdots + x_n L (\vec{a}_n)
\] In het bijzonder is het beeld van elke vector onder #L# te bepalen wanneer de beelden van een stelsel basisvectoren van #V# bekend zijn. Deze observatie ligt ten grondslag aan de volgende stelling.
Lineaire afbeelding bepaald door het beeld van een basis
Laat #V# en # W# eindigdimensionale vectorruimten zijn, #\basis{\vec{v}_1,\ldots ,\vec{v}_n}# een basis voor #V# en #\vec{w}_1,\ldots,\vec{w}_n# een #n#-tal vectoren in #W#. Dan is er precies één lineaire afbeelding # L :V\rightarrow W# met de eigenschap dat # L( \vec{v}_i)=\vec{w}_i# voor #i=1,\ldots,n#.
In het bijzonder is elke lineaire afbeelding #V\to W# bepaald door een matrix.
De beelden van een basis bepalen ook de beeldruimte van de lineaire afbeelding:
Beeld als opspansel
Bekijk een lineaire afbeelding # L :V\rightarrow W#. Als #V=\linspan{\vec{a}_1,\ldots ,\vec{a}_n}#, dan geldt \[\im{L}=\linspan{ L( \vec{a}_1),\ldots, L( \vec{a}_n)}\]
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.