Vectorrekening in vlak en ruimte: Afstanden, hoeken en inproduct
Het standaardinproduct
Orthonormale basis
Een basis van het vlak of de ruimte waarvan elke vector lengte #1# heeft en elk tweetal loodrecht op elkaar staat, heet een orthonormale basis.
De standaardbases van #\mathbb{R}^2# en van #\mathbb{R}^3# zijn orthonormaal.
Vertalen we het inproduct van #\vec{v}# en #\vec{w}# naar coördinaten ten opzichte van een orthonormale basis, dan krijgen we een eenvoudig te onthouden uitdrukking.
Het inproduct in coördinaten
Als #\vec{e}_1#, #\vec{e}_2# een orthonormale basis van het vlak is, dan geldt voor alle vectoren #\vec{v}# en #\vec{w}#:
\[
\vec{v}\cdot \vec{w} = v_1\cdot w_1 + v_2\cdot w_2\tiny,
\]waarbij #\rv{v_1,v_2}# de coördinaten van #\vec{v}# ten opzichte van de basis #\vec{e}_1#, #\vec{e}_2# zijn, en #\rv{w_1,w_2}# de coördinaten van #\vec{w}# ten opzichte van dezelfde basis.
Als #\vec{e}_1#, #\vec{e}_2#, #\vec{e}_3# een orthonormale basis van de ruimte is, dan geldt voor alle vectoren #\vec{v}# en #\vec{w}#:
\[
\vec{v}\cdot \vec{w} = v_1\cdot w_1 + v_2\cdot w_2+ v_3\cdot w_3\tiny,
\]waarbij #\rv{v_1,v_2,v_3}# de coördinaten van #\vec{v}# ten opzichte van de basis #\vec{e}_1#, #\vec{e}_2#, #\vec{e}_3# zijn, en #\rv{w_1,w_2,w_3}# de coördinaten van #\vec{w}# ten opzichte van dezelfde basis.
We geven een bewijs voor het 2-dimensionale geval. Het 3-dimensionale geval kan net zo bewezen worden.
Zijn #\vec{v}= v_1\vec{e}_1+v_2 \vec{e}_2# en #\vec{w}= w_1\vec{e}_1 +w_2 \vec{e}_2# twee vectoren in het vlak, dan vinden we, met gebruikmaking van de rekenregels voor het inproduct en de gelijkheden #\vec{e}_1\cdot\vec{e}_1=1#, #\vec{e}_1\cdot\vec{e}_2=0#, #\vec{e}_2\cdot\vec{e}_1=0#, #\vec{e}_2\cdot\vec{e}_2=1#:
\[
\begin{array}{rcl}
\vec{v}\cdot \vec{w} & = &\left(v_1\vec{e}_1 +v_2 \vec{e}_2\right)\cdot\left(w_1\vec{e}_1 +w_2 \vec{e}_2\right) \\
& =& v_1\cdot w_1 \left(\vec{e}_1\cdot\vec{e}_1\right) + v_1\cdot w_2\cdot\left (\vec{e}_1\cdot \vec{e}_2\right)\\
&&+ v_2\cdot w_1\cdot\left (\vec{e}_2\cdot \vec{e}_1\right) + v_2\cdot w_2\cdot\left (\vec{e}_2\cdot\vec{e}_2\right)\\
& = &v_1\cdot w_1 + v_2\cdot w_2
\end{array}
\]
In de gevallen waarin de basis niet orthonormaal is, is de beschrijving in coördinaten wat lastiger; we laten die beschrijving hier achterwege.
Omdat de standaardbasis van #\mathbb{R}^3# (evenals van #\mathbb{R}^2#) orthonormaal is, geldt deze formule in het bijzonder voor het inproduct in #\mathbb{R}^3# ten opzichte van die basis. Om dit inproduct te onderscheiden van inproducten uitgedrukt in coördinaten die afkomstig zijn van andere basiskeuzes, geven we het een speciale naam:
Standaardinproduct
Het standaardinproduct van twee vectoren #\vec{v}= \rv{v_1, v_2,v_3}# en #\vec{w}= \rv{w_1, w_2,w_3}# in #\mathbb{R}^3# is het inproduct uitgedrukt in coördinaten ten opzichte van de standaardbasis. Het wordt gegeven door de formule voor 3 dimensies in bovenstaande stelling Het inproduct in coördinaten.
De overeenkomstige definitie is van toepassing op #\mathbb{R}^2#.
Vaak spreken we gewoon van het inproduct als we het standaardinproduct bedoelen en er geen verwarring is.
Als gevolg van de stelling vinden we een gemakkelijke (en bekende) uitdrukking voor de lengte van een vector. We formuleren het resultaat alleen voor de ruimte. Het overeenkomstige resultaat voor het vlak kun je hieruit aflezen door de derde coördinaat van elke vector gelijk aan #0# te stellen.
Laat #\vec{e}_1#, #\vec{e}_2#, #\vec{e}_3# een orthonormale basis van de ruimte zijn en bekijk twee vectoren #\vec{u}= u_1\vec{e}_1+u_2 \vec{e}_2+u_3 \vec{e}_3# en #\vec{v}= v_1\vec{e}_1+v_2 \vec{e}_2+v_3 \vec{e}_3#. We kunnen de lengte van de vector #\vec{v}#, de afstand tussen #\vec{u} # en #\vec{v} #, en, als #\vec{u}# en #\vec{v}# niet de nulvector zijn, de cosinus van de hoek #\varphi# tussen de twee vectoren als volgt in coördinaten uitdrukken:
- #\parallel\vec{v}\parallel = \sqrt{v_1^2 + v_2^2+ v_3^2}#
- #\parallel\vec{u}-\vec{v}\parallel = \sqrt{\left(u_1 -v_1\right)^2 +\left (u_2 -v_2\right)^2+\left(u_3 -v_3\right)^2 }#
- #\cos (\varphi) =\frac{u_1\cdot v_1 + u_2\cdot v_2+u_3\cdot v_3}{\sqrt{u_1^2 + u_2^2+ u_3^2}\cdot \sqrt{v_1^2 + v_2^2+ v_3^2}}#
Bij gebruikmaking van een orthonormale basis #\vec{e}_1#, #\vec{e}_2#, #\vec{e}_3# in de ruimte (dus vectoren van lengte 1 die twee aan twee loodrecht op elkaar staan), vinden we de volgende uitdrukking in coördinaten voor het inproduct van de vectoren #\vec{v}=v_1\vec{e}_1 +v_2 \vec{e}_2 + v_3 \vec{e}_3# en #\vec{w}=w_1\vec{e}_1 +w_2 \vec{e}_2 + w_3 \vec{e}_3#:
\[
v_1\cdot w_1 + v_2\cdot w_2 + v_3\cdot w_3\tiny.
\]
Voor de lengte van de vector #\vec{v}# krijgen we
\[
\parallel\vec{v}\parallel =\sqrt{\vec{v}\cdot\vec{v}}=\sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}\tiny.
\]
De afstand tussen #\vec{u}# en #\vec{v}# is gelijk aan
\[
\parallel\vec{u}-\vec{v}\parallel = \sqrt{(u_1 -v_1)^2 + (u_2 -v_2)^2 + (u_3-v_3)^2}\tiny.
\]
En voor de cosinus van de hoek tussen de vectoren #\vec{v}# en #\vec{w}# (beide ongelijk #\vec{0}#) geldt:
\[
\cos (\varphi) = \frac{\vec{v}\cdot \vec{w}}{\parallel\vec{v}\parallel\cdot \parallel\vec{w}\parallel} =
\frac{v_1\cdot w_1 + v_2\cdot w_2 + v_3\cdot w_3}{\sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}\cdot \sqrt{w_1^2 + w_2^2 + w_3^2}}\tiny.
\]
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.